题目

已知函数  为定义在 上的奇函数. （1） 求函数 的值域； （2） 当 时，不等式 恒成立，求实数 的最小值. 答案： 解：因为 f(x)=ex−aex+1(a∈R) 的定义域为R上的奇函数，所以 f(0)=0 ，即 a=1 ， f(x)=ex−1ex+1⇒ex=1+y1−y>0⇒y∈(−1,1) 解：当 x∈[ln12,ln2] 时， f(x)=ex−1ex+1(a∈R) 仍然是奇函数，则有： |f(x1)+f(x2)x1+x2|=|f(x1)−f(−x2)x1−(−x2)|<λ(λ∈R) ，求导： f'(x)=2ex(ex+1)2>0 恒成立， f(x)=ex−1ex+1 在 x∈[ln12,ln2] 上单调递增，令 x3=−x2 ，则等价于：对任意 x1,x3∈[ln12,ln2] 恒成立，不妨设 x1<x3 ，则有 f(x1)<f(x3) ，即 f(x3)−f(x1)<λ(x3−x1) ，所以 f(x3)−λx3<f(x1)−λx1 ，构造函数 g(x)=f(x)−λx ，现只需 y=g(x) 在 [ln12,ln2] 上单调递减，所以 g′(x)=2ex(ex+1)2−λ≤0 ，即 λ≥2ex(ex+1)2=2(ex+1ex)+2 ，因为 ex∈[12,2] ，所以 ex+1ex≥2 ，当 ex=1 时，即 x=0 时，取“=”，则有 λ≥12 ，所以实数 λ 的最小值为 12

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