题目

已知函数 ， . （1） 求 的值域； （2） 若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围. 答案： 解：∵ f(x)=2sin2(x+π4)−3cos2x =[1−cos(π2+2x)]−3cos2x=1+sin2x−3cos2x=1+2sin(2x−π3) ， 又∵ x∈[π4,π2] ， ∴ π6≤2x−π3≤2π3 ，即 2≤1+2sin(2x−π3)≤3 ，∴ f(x)∈[2,3] ； 解：由 |f(x)−m|<2 恒成立，可得 f(x)−2<m<f(x)+2 恒成立， 又∵ x∈[π4,π2] ，∴ m>f(x)max−2 且 m<f(x)min+2 ，结合（1）知， ∴ 1<m<4 ，即 m 的取值范围是 (1,4) .

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