题目

如图，矩形 中， ， ，点 是 上的动点．现将矩形 沿着对角线 折成二面角 ，使得 ．（Ⅰ）求证：当 时， ；（Ⅱ）试求 的长，使得二面角 的大小为 ． 答案：解：（Ⅰ）连结 DF ， BF ．在矩形 ABCD 中， AD=23,CD=6 ,∴AC=43,∠CAB=300 , ∠DAC=600 ．在 ΔADF 中，∵ AF=3 ,∴DF2=DA2+AF2−2DA⋅AF⋅cos∠DAC=9 ，∵ DF2+AF2=9+3=DA2 ，∴DF⊥AC ，即 D′F⊥AC ．又在 ΔABF 中，BF2=AB2+AF2−2AB⋅AF⋅cos∠CAB=21 ，∴在 ΔD′FB 中， D′F2+FB2=32+(21)2=D′B2 ,∴BF⊥D′F ,又 ∵AC∩FB=F ,∴ D′F⊥ 平面 ABC ．∴ D′F⊥BC ．（Ⅱ）解：在矩形 ABCD 中，过 D 作 DE⊥AC 于 O ，并延长交 AB 于 E . 沿着对角线 AC 翻折后，由（Ⅰ）可知， OE,OC,OD′ 两两垂直，以 O 为原点， OE⇀ 的方向为 x 轴的正方向建立空间直角坐标系 O−xyz ，则O(0,0,0),E(1,0,0), D′(0,0,3),B(3,23,0) ,∵EO⊥ 平面 AD′F ,∴OE⇀=(1,0,0) 为平面 AD′F 的一个法向量．设平面 BD′F 的法向量为 n=(x,y,z),∵F(0,t,0) ， ∴BD′⇀=(−3,−23,3), BF⇀=(−3,t−23,0) ,由 {n⋅BD′⇀=0,n⋅BF⇀=0, 得 {−3x−23y+3z=0，−3x+(t−23)y=0，取 y=3, 则 x=t−23,z=t , ∴n=(t−23,3,t) ．∴cosπ4=|n⋅OE⇀||n||OE⇀|, 即 |t−23|(t−23)2+9+t2=22 ,∴t=34 ．∴ 当 CF=1143 时，二面角 A−D′F−B 的大小是 π4

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