题目

  （1） [证明体验] 如图13-1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC=60°，点E在AB上，AE=AC．求证：DE平分∠ADB． （2） [思考探究] 如图13-2，在(1)的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB=FC，DG=2，CD=3，求BD的长． （3） [拓展延伸] 如图13-3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA=2∠DCA，点E在AC上，∠EDC=∠ABC．若BC=5，CD=2 ，AD=2AE，求AC的长． 答案： 解：证明：如图1， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD=∠CAD， ∵AE=AC， AD=AD， ∴△EAD≌△CAD (SAS)， ∴∠ADE=∠ADC=60°， ∵∠BDE=180° -∠ADE-∠ADC= =180°- 60°- 60°=60°， ∴∠BDE=∠ADE， ∴DE平分∠ADB． 解：如图2， ∵FB=FC， ∴∠EBD=∠GCD； ∵∠BDE=∠CDG=60°， ∴△BDE∽△CDG， ∴ BDCD=DEDG ∵△EAD≌△CAD， ∴DE=CD=3， ∵DG=2， ∴BD= CD2DG=332=92 解：如图3，在AB上取一点F，使AF=AD，连结CF． ∵AC平分∠BAD， ∴∠EAC=∠DAC， ∴AC=AC， ∴△AFC≌△ADC (SAS)， ∴CF=CD，∠FCA=∠DCA，∠AFC=∠ADC， ∵∠FCA+∠BCF=∠BCA=2∠DCA， ∴∠DCA=∠BCF， 即∠DCE=∠BCF， ∵∠EDC=∠ABC，即∠EDC=∠FBC， ∴△DCE∽△BCF， ∴ CDBC=CECF ∠DEC=∠BFC， ∵BC=5，CF=CD=2 5 ， ∴CE= CD2BC=(25)25 =4； ∵∠AED+∠DEC=180°，∠AFC+∠BFC= 180° ， ∴∠AED=∠AFC=∠ADC， ∵∠EAD=∠D．AC (公共角)， ∴△EAD∽△DAC， ∴ AEAD=ADAC=12 ∴AC=2AD，AD=2AE， ∴AC=4，AE= 43 CE= 43 ×4= 163

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