题目

已知：在△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ=MN． 求证： （1） △APM是等腰三角形； （2） PC=AN． 答案： 解：∵BA⊥AM，MN⊥AC， ∴∠BAM=∠ANM=90°， ∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°， ∴∠PAQ=∠AMN， ∵PQ⊥AB，MN⊥AC， ∴∠PQA=∠ANM=90°， 在△AQP和△MNA中， {∠PAQ=∠AMN∠PQA=∠ANMAQ=MN ， ∴△AQP≌△MNA， ∴MA=AP， ∴△APM是等腰三角形． 解：∵MA=AP， ∴∠AMP=∠APM， ∵∠APM=∠BPC， ∴∠AMP=∠BPC， ∵∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=180°-∠BAM=90°， ∴∠ABM=∠PBC， ∵PQ⊥AB，PC⊥BC， ∴PQ=PC（角平分线的性质）， 由（1）可知AN=PQ， ∴PC=AN．

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