题目

如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，平面，，，， . （1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值. 答案：证明：取 AB 的中点 M ，连接 EM ，则 AM=MB=1 ，由（1）知， EF//MB ，且 EF=MB ， ∴ 四边形 EMBF 为平行四边形，∴EM//FB ， EM=FB ，在 RtΔBFC 中， FB2+FC2=BC2=4 ，又 FB=FC ，得 FB=2 ， ∴EM=2 ，在 ΔAME 中， AE=3 ， AM=1 ， EM=2 ，∴AM2+ME2=3=AE2 ， ∴AM⊥EM ， ∴AM⊥FB ，即 AB⊥FB ，∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB⊥BC ，FB∩BC=B ， FB⊂ 平面 BCF ， BC⊂ 平面 BCF ， ∴AB⊥ 平面 BCF 解：解法1：连接 AC ， AC 与 BD 相交于点 O ，则点 O 是 AC 的中点，取 BC 的中点 H ，连接 OH 、 EO 、 FH ，则 OH//AB ， OH=12AB=1 .由（1）知 EF//AB ，且 EF=12AB ， ∴EF//OH ，且 EF=OH .∴ 四边形 EOHF 是平行四边形. ∴ EO//FH ，且 EO=FH=1 ，由（1）知 AB⊥ 平面 BCF ，又 FH⊂ 平面 BCF ， ∴FH⊥AB .∵FH⊥BC ， AB∩BC=B ， AB⊂ 平面 ABCD ， BC⊂ 平面 ABCD ，∴FH⊥ 平面 ABCD . ∴EO⊥ 平面 ABCD .∵AO⊂ 平面 ABCD ， ∴EO⊥AO .∵AO⊥BD ， EO∩BD=O ， EO⊂ 平面 EBD ， BD⊂ 平面 EBD ， ∴AO⊥ 平面 EBD .∴∠AEO 是直线 AE 与平面 BDE 所成的角.在 RtΔAOE 中， tan∠AEO=AOEO=2 .∴ 直线 AE 与平面 BDE 所成角的正切值为 2 ；

数学试题推荐

数学试卷推荐