题目

已知函数 ， 且. （1） 求实数的值并判断该函数的奇偶性； （2） 判断函数在（1，+∞）上的单调性并证明. 答案： 解：∵f(x)=2x−ax，且f(2)=92，∴4−a2=92，∴a=−1；所以f(x)=2x+1x，定义域为{x|x≠0}关于原点对称，∵f(−x)=2(−x)+1−x=−2x−1x=−(2x+1x)=−f(x)，∴函数f(x)=2x+1x为奇函数. 解：函数f(x)在(1，+∞)上是增函数，证明：任取x1，x2∈(1，+∞)，设x1<x2，则f(x2)−f(x1)=2x2+1x2−(2x1+1x1)=2(x2−x1)+(1x2−1x1)=2(x2−x1)+(x1−x2x1x2)=(x2−x1)(2−1x1x2)=(x2−x1)(2x1x2−1)x1x2∵x1，x2∈(1，+∞)，且x1<x2，∴x2−x1>0，2x1x2−1>0，x1x2>0∴f(x2)−f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(1，+∞)上是增函数.

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