题目

如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上． （Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；（Ⅱ）当PD=2AB，且E为PB的中点，求二面角B﹣AE﹣C的余弦值． 答案：证明：（1）∵PD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴PD⊥AC，底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又PD∩BD=D，∴AC⊥平面ABCD，又AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB．（2）解：分别以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB=2，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），P（0，0，4），E（1，1，2）， AB→ =（0，2，0）， AE→ =（﹣1，1，2），取平面ABC的一个法向量为 n1→=(0，0，1) ，设平面ABE的法向量 n2→=(x，y，z) ，则 {n2→⋅AB→=0n2→⋅AE→=0 ，可得 {2y=0−x+y+2z=0 ，取 n2→ =（2，0，1）．∴ cos<n1→，n2→> = n1→⋅n2→|n1→||n2→| = 13 = 33 ．∴二面角B﹣AE﹣C的余弦值为 33 ．

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