题目

已知正项数列的前n项和为，满足（，）， . （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和的表达式. 答案：解：正项数列 {an} 的前n项和为 Sn ，满足 an=Sn+Sn−1 （ n≥2 ， n∈N* ），所以 Sn−Sn−1=Sn+Sn−1 ，整理得： (Sn+Sn+1)(Sn−Sn−1−1)=0 ，由于数列为正项数列，所以 Sn−Sn−1=1 （常数），所以 {Sn} 是以 S1=a1=1 为首项，1为公差的等差数列，所以 Sn=1+(n−1)=n ，所以 an=Sn+Sn−1=n+n−1=2n−1 ，易见 a1=1 也适合该式. 故 an=2n−1 . 解：由于 bn=cosnπ⋅nanan+1=(−1)n×14[(12n−1+12n+1)] ，所以 T2n=b1+b2+b3+⋯+b2n−1+b2n =−14[(11+13)]+14[(13+15)]−14[(15+17)]+⋯+14[(14n−1+14n+1)] =14(−1−13+13−15+15−17+⋯+14n−1+14n+1) =14(−1+14n+1)=−n4n+1 .

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