题目

如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH． （1） 填空：∠AHC∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”） （2） 线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由； （3） 设AE＝m， ①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值． ②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值． 答案： 【1】＝ 解：结论：AC2＝AG•AH． 理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°， ∴△AHC∽△ACG， AHAC ＝ ACAG ， ∴AC2＝AG•AH 解：①△AGH的面积不变． 理由：∵S△AGH＝ 12 •AH•AG＝ 12 AC2＝ 12 ×（4 2 ）2＝16． ∴△AGH的面积为16． ②如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC， 可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8， ∵BC∥AH， ∴ BCAH ＝ BEAE ＝ 12 ， ∴AE＝ 23 AB＝ 83 ． 如图2中，当CH＝HG时， 易证AH＝BC＝4， ∵BC∥AH， ∴ BEAE ＝ BCAH ＝1， ∴AE＝BE＝3． 如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5． 在BC上取一点M，使得BM＝BE， ∴∠BME＝∠BEM＝45°， ∵∠BME＝∠MCE+∠MEC， ∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°， ∴CM＝EM，设BM＝BE＝m，则CM＝EM 2 m， ∴m+ 2 m＝6， ∴m＝6（ 2 ﹣1）， ∴AE＝6﹣6（ 2 ﹣1）＝12﹣6 2 ， 综上所述，满足条件的m的值为 83 或3或12﹣6 2

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