题目

已知平面内一动点 与两定点 和 连线的斜率之积等于 . （Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程； （Ⅱ）设直线 ： （ ）与轨迹 交于 、 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，当 变化时，求 面积的最大值. 答案：解：（Ⅰ）设 M 的坐标为 (x,y) ， 依题意得 y+1x⋅y−1x=−12 ， 化简得轨迹 E 的方程为 x22+y2=1 （ x≠0 ）. （Ⅱ）设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， 联立方程组 {x22+y2=1,y=x+m, 化简得： 3x2+4mx+ 2m2−2=0 , ∵ 有两个不同的交点， 由根与系数的关系得 x1+x2=−4m3 ， x1x2=2m2−23 ， ∴Δ=(4m)2−12   (2m2−2)>0 ，即 −3<m<3 且 m≠−1,0,1 . 设 A 、 B 中点为 C ， C 点横坐标 xC=x1+x22=−2m3 ， yC=xC+m=m3 ， ∴(−2m3,m3) ， ∴ 线段 AB 的垂直平分线方程为 y−m3=−(x+2m3) . ∴P 点坐标为 (−m3,0) . P 到 AB 的距离 d=|23m|2 ， 由弦长公式得 |AB|=2⋅(x1+x2)2−4x1x2 =2324−8m2 ， ∴S△PAB=12×|23m|2×23⋅   24−8m2=229m2(3−m2)   ≤229⋅m2+3−m22   =23 ， 当且仅当 m2=32 即 m=±62∈ (−3,3) 时等号成立， ∴(S△PAB)max=23 .

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