题目

如图，在 中， ，延长 使 ，线段 绕点C顺时针旋转90°得到线段 ，连结 ． （1） 依据题意补全图形； （2） 当 时， 的度数是； （3） 小聪通过画图、测量发现，当 是一定度数时， ． 小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形 补全成为正方形 ，就易证 ，因此易得当 是特殊值时，问题得证； 想法2：要证 ，通过第（2）问，可知只需要证明 是等边三角形，通过构造平行四边形 ，易证 ，通过 ，易证 ，从而解决问题； 想法3：通过 ，连结 ，易证 ，易得 是等腰三角形，因此当 是特殊值时，问题得证． 请你参考上面的想法，帮助小聪证明当 是一定度数时， ．（一种方法即可） 答案： 解：补全图形 【1】60° 解：当 ∠AMD=75° 时结论成立． 证明：想法一： 过A作 AE⊥CD 于E． ∵ ∠B=∠C=∠E=90° AB=BC ∴四边形 ABCE 是正方形 ，           ∴ AB=AE,∠B=∠E ， BC=CE ， ∵ MC=DC ， ∴ BM=DE ， ∴ ΔABM≌ΔAED （ASA）， ∴ AD=AM ， 当 ∠AMD=60° 时， ∴ ΔAMD 是等边三角形 ∴ AM=DM ；

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