题目

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （a为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 . （1） 求C的普通方程和l的倾斜角； （2） 设点 ，l和C交于A ， B两点，求 . 答案： 解： {x=3cosα,y=sinα, 消去参数α得 x29+y2=1 ， 即C的普通方程为 x29+y2=1 . 由 ρsin(θ−π4)=2 ，得 ρsinθ−ρcosθ=2 ，（*） 将 {x=ρcosθy=ρsinθ ，代入（*），化简得 y=x+2 ， 所以直线l的倾斜角为 π4 . 解：由（1），知点 P(0,2) 在直线l上，可设直线l的参数方程为 {x=tcosπ4y=2+tsinπ4 （t为参数）， 即 {x=22ty=2+22t （t为参数）， 代入 x29+y2=1 并化简，得 5t2+182t+27=0 ， Δ=(182)2−4×5×27=108>0 ， 设A，B两点对应的参数分别为 t1 ， t2 ， 则 t1+t2=−1825<0 ， t1t2=275>0 ， 所以 t1<0 ， t2<0 ，所以 |PA|+|PB|=|t1|+|t2|=−(t1+t2)=1825

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