题目

在直角坐标系中，二次函数（a，b是常数，）的图象经过和两点. （1） 求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标； （2） 当时，求的取值范围； （3） 当 ， n（m，n是实数，）时，该函数对应的函数值分别为M，N.若 ， 求证：. 答案： 解：根据题意，将点(1，1)和(2，3)代入解析式y=ax2−bx+1，得， {a−b+1=14a−2b+1=3 解得{a=1b=1 ∴函数的表达式为：y=x2−x+1 ∵y=x2−x+1=(x−12)2+34 ∴顶点坐标为(12，34)，对称轴为x=12 解：∵y=x2−x+1对称轴为x=12，a=1>0 ∴抛物线的开口向上，离对称轴越远的点所对应的函数值越大， 而12−(−1)=32，1−12=12，32>12 ∴ x=−1时，取得最大值为：1−(−1)+1=3 ∵顶点坐标为(12，34)，抛物线的开口向上， ∴x=12时，取得最小值为34 ∴当−1<x<1时，34<y<3 证明：根据题意，M=m2−m+1，N=n2−n+1，m+n=2 ∴M+N=m2−m+1+n2−n+1=m2+n2−(m+n)+2 =m2+n2 =(2−n)2+n2 =2(n−1)2+2 ∵m≠n ∴n≠2−n即n≠1 ∴M+N>2

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