题目

已知 ， （1） 若 ，求 的最大值； （2） 若 ，求 的最小值； （3） 求 的最小值. 答案： 解： 若 x，y∈R* ， x+y=1，x，y∈R 所以 x+y>0 ， (x+y)2=x+y+2xy=1+2xy ①， 又因为 x+y=1 ，所以 x+y=1≥2xy ， 所以 xy≤12 ②， 将②代入①得： (x+y)2=1+2xy≤1+2×12=2 ， 所以 x+y≤2 ，当且仅当 x=y=12 时等号成立. 所以 x+y 的最大值为 2 ； 解： 因为 x，y∈R* ，且 x+y=1，x，y∈R 所以 1x+4y=(1x+4y)(x+y) =1+4+yx+4xy≥5+2yx⋅4xy=9 ， 当且仅当 yx=4xy ，即 x=13，y=23 时，等号成立. 所以 1x+4y 的最小值为 9 . 解： 已知 x+y=1，x，y∈R ，所以 x=1−y ， 则 x(1−3y)=(1−y)(1−3y)=3y2−4y+1 =3(y2−43y)+1=3(y−23)2+59≥59 . 所以 x(1−3y) 的最小值为 59 .

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