题目

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D为斜边AC延长线上一点，过D点作BC的垂线交其延长线于点E，在AB的延长线上取一点F，使得BF=CE，连接EF. （1） 若AB=2，BF=3，求AD的长度； （2） G为AC中点，连接GF，求证：∠AFG+∠BEF=∠GFE. 答案： 解：∵DE⊥BE，AB⊥BE， ∴DE∥AB， ∴△ABC∽△DEC， ∴△CDE为等腰直角三角形， ∵CE=BF=3,∴CD=3 2 ， ∵AB=2,∴AC=2 2 ， ∴AD=AC+CD=5 2 ； 证明：连接EG、BG∵G是等腰直角△ABC斜边AC中点，∴BG=CG,∠ABG=∠ACB=45°，∴∠GBF=∠GCE=135°，∵在△GBF和△GCE中, GB=GC,∠GBF=∠GCE,BF=CE，∴△GBF≌△GCE,(SAS)∴GE=GF，∠BGF=∠CGE，∠AFG=∠BEG，∵∠BGF+∠FGC=90°，∴∠CGE+∠FGC=90°,即∠EGF=90°，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠GFE=∠GEF=45°，∵∠GEF=∠BEG+∠BEF，∴∠GEF=∠AFG+∠BEF，∴∠AFG+∠BEF=∠GFE.

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