题目

已知函数 ， . （1） 当 时， 在 上为单调函数，求 的取值范围； （2） 求函数 的最小值. 答案： 解： f(x)=x2+2|x−a|={x2+2x−2a,x≥ax−22x+2a,x<a 当 a=2 时， f(x)={x2+2x−4,x≥2x−22x+4,x<2 函数 f(x) 在 (−∞,1) 单调递减， (1,+∞) 单调递增， 因此 f(x) 在 (m,m+2) 上为单调函数，即 m+2≤1 或 m≥1 ， 因此： m≤−1 或 m≥1 . 解：(i)当 a>1 时，函数 f(x) 在 (−∞,1) 单调递减， (1,+∞) 单调递增，因此 f(x)min=f(1)=1+2|a−1|=2a−1 ； （ii）当 1≥a≥−1 时，函数 f(x) 在 (−∞,a) 单调递减， (a,+∞) 单调递增，因此 f(x)min=f(a)=a2 ； （iii）当 a<−1 时，函数 f(x) 在 (−∞,−1) 单调递减， (−1,+∞) 单调递增，因此 f(x)min=f(−1)=1+2|a+1|=−2a−3 .

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