题目

已知函数 . （1） 判断 的奇偶性，并说明理由； （2） 若 在 上是增函数，求实数 的取值范围. 答案： 解：当 a=0 时，函数 f(x)=x2 的定义域为 {x|x≠0} ， 对 ∀x∈{x|x≠0} f(−x)=(−x)2=x2=f(x) ， 所以函数 y=f(x) 为偶函数； 当 a≠0 时， f(x)=x2+ax 的定义域为 {x|x≠0} ， f(−x)=(−x)2+a−x=x2−ax ， 此时 f(−x)≠f(x) 且 f(−x)≠−f(x) ， 此时，函数 y=f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数； 解：设 x2>x1≥1 ， 则 f(x1)−f(x2)=(x12+ax1)−(x22+ax2)=(x12−x22)+(ax1−ax2) ， =(x1−x2)(x1+x2)+a(x2−x1)x1x2=(x1−x2)[x1x2(x1+x2)−a]x1x2 ， 因为 x2>x1≥1 ， 所以 x1x2(x1+x2)>2 ， x1−x2<0 ， ∵ y=f(x) 为 [1，+∞) 上的增函数， ∴ f(x1)−f(x2)<0 成立， 则 x1x2(x1+x2)−a>0 成立， 所以 a<x1x2(x1+x2) 成立， 解得 a≤2 ， 所以实数 a 的取值范围是 a≤2 .

查看本题答案和解析