题目

某商场出售A商品，该商品按进价提高50%后出售，售出10件可获利100元． （1） 求A商品每件的进价和售价分别是多少元？ （2） 已知A商品每星期卖出200件，为提高A商品的利润，商场市场部进行了调查，获得以下反馈信息：信息一：每涨价1元，每星期会少卖出10件．信息二：每降价1元，每星期可多卖出25件．①结合上述两条信息，A商品售价为多少元时，利润最大？②某顾客带320元到商场购买A、B两种商品至少各1件（A商品为第①小题中利润最大时的售价），B商品售价为25元/个，现要求A商品的数量不少于B商品的数量．在不超额的前提下，如何购买这两种商品，使在总数量最多的情况下，总费用最少． 答案： 解：设A的进价为x元，则售价为(1+50%)x元，由题意可得：[(1+50%)x−x]×10=100，解得x=20(1+50%)x=30，答：A商品每件的进价和售价分别是20，30元； 解：①设售价为x元，获得利润为w元当商品涨价时，则x≥30，此时销售量为200−10×(x−30)=500−10x件，w=(x−20)(500−10x)=−10x2+700x−10000=−10(x−35)2+2250则当x=35时，w最大，为2250，当商品降价时，则x<30，此时销售量为200+25×(30−x)=950−25x件w=(x−20)(950−25x)=−25x2+1450x−19000=−25(x−29)2+2025∴当x=29时，w最大，为2025，∵2025<2250∴当x=35时，w最大，为2250，答：A商品售价为35元时，利润最大；②设购买A商品数量为m个，B商品数量为n个，由题意可得：{m≥nm>0n>035m+25n≤320且m，n为正整数，当m=1，n=1时，35m+25n=60，符合题意；当m=2，n=2时，35m+25n=120，符合题意；当m=3，n=3时，35m+25n=180，符合题意；当m=4，n=4时，35m+25n=240，符合题意；当m=5，n=5时，35m+25n=300，符合题意；当m=6，n=5时，35m+25n=335>320，不符合题意；综上，在总数量最多的情况下，购买A、B商品的数量都为5个时，总费用最少．

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