题目

在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP． （1） 试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似； （2） 若Rt△AQP≌Rt△ACP≌Rt△BQP，求 的值； （3） 已知AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值.  答案： 解：不论点P在BC边上何处时，都有     ∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B∴△PBQ∽△ABC 解：∵Rt△AQP≌Rt△ACP∴AQ=AC又Rt△AQP≌Rt△BQP  ∴AQ=QB   ∴AQ=QB=AC∴∠B= 30∘    ∴ tanB=33 解：设BP=x（0＜x＜4），由勾股定理，得 AB=5∵由（1）知，△PBQ∽△ABC，∴ PQAC=QBBC=PBAB ，即 PQ3=QB4=x5 ∴PQ=35x，QB=45xS△APQ= 12PQ×AQ = −625x2+32x = −625(x−258)2+7532∴当 x=258 时，△APQ的面积最大，最大值是 7532

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