题目

已知等差数列{an}和等比数列{bn}，其中a1=b1,且对于某个自然数n有a2n+1=b2n+1,试比较an+1与bn+1的大小. 答案：解：由题意知，应有b1≠0，故a1≠0，设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.∵a2n+1=b2n+1,a1=b1,∴a1+(2n+1-1)d=b1q2n,即a1+2nd=b1q2n.∴a1+2nd=a1q2n.∴d=.∴an+1-bn+1=a1+nd-a1qn=a1+-a1qn=a1.(1)若q=1，则d=0,an+1=bn+1=a1.(2)q=-1，则当n为偶数时，qn-1=0,所以an+1=bn+1;当n为奇数时，（qn-1）2＞0.故a1＞0时,an+1＞bn+1；a1＜0时，an+1＜bn+1.(3)若|q|≠1,则恒有（qn-1）2＞0.故a1＞0时，an+1＞bn+1;a1＜0时，an+1＜bn+1.温馨提示本题是考查等差、等比数列知识及不等式的证明的综合题，求解时要对作差式的变形式进行讨论才能使求解过程全面、完整.

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