题目

如图，在三棱锥中， ， ， 两两互相垂直， ， 分别是 ， 的中点. （1） 证明：； （2） 设 ， ， 和平面所成角的大小为 ， 求二面角的大小. 答案： 证明：取BD的中点P，连接MP，NP.因为M，N分别是AD，BC的中点.所以MP//AB，NP//CD又因为AB⊥BC，BC⊥CD所以BC⊥MP，BC⊥NP，又∵MP∩NP=P，∴BC⊥平面MNP.又MN⊂平面MNP，所以MN⊥BC. 解：因为AB⊥CD，BC⊥CD，AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC，所以∠ACB为二面角A−CD−B的平面角，又因为AB⊥BC，AB⊥CD，所以AB⊥平面BCD，AB⊥BD.连接BM，则BM=12AD=5在Rt△MNB中MN=BM2−BN2=5−1=2，因为MP//AB，所以MP⊥平面BCD.故∠MNP是MN和平面BCD所成的角，即∠MNP=π6，且MP=1，在Rt△ABC中，AB=2MP=2，BC=2，所以∠ACB=π4，故所求二面角A−CD−B的大小为π4.

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