题目

问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板 的两条直角边 ， 上，点A与点P在直线 的同侧，若点P在 内部，试问 ， 与 的大小是否满足某种确定的数量关系？ （1） 特殊探究：若 ，则 度， 度， 度； （2） 类比探索：请猜想 与 的关系，并说明理由； （3） 类比延伸：改变点A的位置，使点P在 外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出 ， 与 满足的数量关系式． 答案： 【1】125【2】90【3】35 解：猜想：∠ABP+∠ACP=90°-∠A；                                               证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A， ∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB， ∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）=180°-∠A， ∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A， 又∵在Rt△PBC中，∠P=90°， ∴∠PBC+∠PCB=90°， ∴（∠ABP+∠ACP）+90°=180°-∠A， ∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A． 解：判断：（2）中的结论不成立．  证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A， ∵∠ABC=∠PBC-∠ABP，∠ACB=∠PCB-∠ACP， ∴（∠PBC+∠PCB）-（∠ABP+∠ACP）=180°-∠A， 又∵在Rt△PBC中，∠P=90°， ∴∠PBC+∠PCB=90°， ∴∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90° 或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．

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