题目

如图，抛物线 y=-x²+（m-1）x+m（其中m>1）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，点 D 在该抛物线的对称轴l上，且 DA=DC. （1） 点 A 的坐标为，用含m的式子表示点 D的坐标为; （2） 若△ACD 与△BCO 的面积之比为 5∶ 9，求该抛物线的表达式; （3） 在（2）的条件下，若动点 P在该抛物线上，且当∠PBC= ∠DAB 时，求点P 的坐标. 答案： 【1】（-1，0）【2】( m−12 ， m−12 ) 如图， ∵A (-1，0)，B(m，0)，C(0，m)，D ( m−12 ， m−12 )，且DA=DC， ∴DA2=DC2=( m−12 +1)2+( m−12 )2= 12 (m2+1)，AC2=m2+1，DA2+DC2=AC2， 则△ACD是等腰直角三角形，∴S△ACD= 14 (m2+1) 又△BCO是等腰直角三角形，且OB=OC=m，∴S△BCO= 12 m2， ∵S△ACD：S△BCO=5：9， ∴ 14(m2+1)12m2=59 ，解得m=±3， 则抛物线的表达式为y=-x2+2x+3 如图，在(2)的条件下，∵m=3，∴B(3，0)，C(0，3)，又A(-1，0) ①当点P在第一象限内抛物线上时，作PE⊥x轴，垂足为E， 设P(x，-x2+2x+3)，则PE=-x2+2x+3，BE=3-x， ∵∠PBC=∠DAB，而∠CBO=∠CAD=45°，∴∠PBE=∠CAD， ∴Rt△PBE∽Rt△CAO，∴ PEBE=COAO =3 则 −x2+2x+33−x =3，解得x=2(x=3不符题意，舍去)， 此时，点P的坐标为(2，3)； ②当点P在第二象限内抛物线上时，记PB与AC的交点为F， ∵∠PBC=∠DAB，且∠PBA=45°-∠PBC，∠CAB 45° +∠DAB， ∴∠PBA+∠CAB=90°，则∠AFB=90°，即PB⊥AC，垂足为F， ∵A(-1，0)，C(0，3)，∴直线AC的表达式为y=3x+3， ∵B(3，0)，PB⊥AC，∴直线PB的表达式为y=- 13 x+1， 由 {y=−13x+1y=−x2+2x+3 解得 {x=−23y=119 ， {x=3y=0  (舍去) ∴此时，点P的坐标为( −23 ， 119 )； 综上，符合条件的点P的坐标为(2，3)和( −23 ， 119 )

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