题目

如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于第一象限C（1，4）、D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC、OD（O是坐标原点）． （1） 求△DOC的面积； （2） 将直线AB向下平移多少个单位长，直线与反比例函数图象只有1个交点？ （3） 双曲线上是否存在一点P，使△POC与△POD的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 答案： 解：把C（1，4）代入y= kx ，得k=4， 把（4，m）代入y= kx ，得m=1； ∴反比例函数的解析式为y= 4x ，m=1； 把C（1，4），D（4，1）代入y=ax+b得出 {4=k+b1=4k+b ， 解得 {k=−1b=5 ， ∴一次函数的解析式为 y=−x+5 当x=0时，y=5；当y=0时，x=5，即A点坐标为（5，0），B点坐标为（0，5） ∴ SΔCOD=SΔAOB−SΔBOC−SΔAOD=12×5×5−12×5×1−12×5×1=152 ∴ SΔCOD=152 解：设平移后的解析式为 y=−x+5−m ∵直线与反比例函数图象只有1个交点 ∴平移后的直线和反比例函数相切，即联立形成的方程判别式为0 ∴联立平移后的直线和反比例函数解析式，得 {y=−x+5−my=4x ， ∴整理得： x2−(5−m)x+4=0 ∴ Δ=[−(5−m)]2−4×1×4=0 ，整理得 m2−10m+9=0 解得 m=1 或9 ∴直线AB向下平移1或9个单位，直线与反比例函数图象只有1个交点 存在， (2，2) 或 (−2，−2)

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