题目

如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， 是边长为 的等边三角形，平面 平面 ， 为 中点． （1） 设平面 平面 ，证明： ； （2） 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值． 答案： 解： ∵AB//CD ， ∠ABC=90∘ ，所以， BC⊥CD ， 因为平面 PDC⊥ 平面 ABCD ，且平面 PDC∩ 平面 ABCD=DC ， BC⊂ 平面 ABCD ， 所以 BC⊥ 平面 PDC ． 又 BC⊂ 平面 PBC ，从而平面 PDC⊥ 平面 PBC ． 已知 △PDC 为等边三角形， E 为 PC 中点，所以 DE⊥PC ， 因为平面 PDC∩ 平面 PBC=PC ， DE⊂ 平面 PDC ，故 DE⊥ 平面 PBC ． 由已知 l⊂ 平面 PBC ，所以 DE⊥l 解：设 DC 中点为 O ， ∵PD=PC ，则 PO⊥DC ， 因为平面 PDC⊥ 平面 ABCD ，平面 PDC∩ 平面 ABCD=DC ， PO⊂ 平面 PDC ，所以 PO⊥ 平面 ABCD ， ∵AB=1 ， CD=2 ， O 为 CD 的中点，则 AB=OC ， ∵AB//CD ，则 AB//OC ， 因为 ∠ABC=90∘ ，所以，四边形 ABCO 为矩形，则 OA⊥OC ， 如图，以 O 为原点， OA 为 x 轴， OC 为 y 轴， OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 由已知有 A(2,0,0) 、 P(0,0,3) 、 D(0,−1,0) 、 B(2,1,0) 、 C(0,1,0) ． 设平面 PAD 的法向量 m→=(x1,y1,z1) ， PA→=(2,0,−3) ， PD→=(0,−1,−3) ， 由 {m⇀⋅PA⇀=0m⇀⋅PD⇀=0 ，可得 {2x1−3z1=0−y1−3z1=0 ，取 z1=2 ，可得 m→=(3,−6,2) ， 设平面 PBC 的法向量 n→=(x2,y2,z2) ， PB→=(2,1,−3) ， PC→=(0,1,−3) ， 由 {n⇀⋅PB⇀=0n⇀⋅PC⇀=0 ，可得 {2x2+y2−3z2=0y2−3z2=0 ，取 z2=1 ，可得 n→=(0,3,1) ， 所以， cos<m→,n→>=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=−2211×2=−2211 ， 所以平面 PAD 和平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 2211

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