题目

在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足． （1） 求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高； （2） 当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值． 答案： 解：连接AP，过C作CD⊥AB于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，∴ 12 AB•CD= 12 AB•PM+ 12 AC•PN，∴PM+PN=CD，即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高； 解：设BP=x，则CP=2﹣x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵PM⊥AB，PN⊥AC，∴BM= 12 x，PM= 32 x，CN= 12 （2﹣x），PN= 32 （2﹣x），∴四边形AMPN的面积= 12 ×（2﹣ 12 x）• 32 x+ 12× [2﹣ 12 （2﹣x）]• 32 （2﹣x）=﹣ 34 x2+ 32 x+ 32 =﹣ 34 （x﹣1）2+ 334 ，∴当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是 334

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