题目

已知实数正数x,y满足 ． （1） 解关于x的不等式 ； （2） 证明：   答案： 解： ∵x+y=1,且x>0,y>0 ∴ |x+2y|+|x−y|≤52⇔{0<x<1|2−x|+|2x−1|≤52 ⇔{0<x<1|2x−1|≤12+x⇔{0<x<1−(12+x)≤2x−1≤12+x 解得 16≤x<1 ，所以不等式的解集为 [16,1) 解：解法1： ∵x+y=1, 且 x>0,y>0 ， ∴(1x2−1)(1y2−1)=(x+y)2−x2x2⋅(x+y)2−y2y2 =2xy+y2x2⋅2xy+x2y2   =(2yx+y2x2)(2xy+x2y2)   =2xy+2yx+5   ≥22xy⋅2yx+5=9 . 当且仅当 x=y=12 时，等号成立. 解法2： ∵x+y=1, 且 x>0,y>0 ， ∴(1x2−1)(1y2−1)=1−x2x2⋅1−y2y2 =(1+x)(1−x)x2⋅(1+y)(1−y)y2   =(1+x)yx2⋅(1+y)xy2   =1+x+y+xyxy =2xy+1   ≥2(x+y2)2+1=9 当且仅当 x=y=12 时，等号成立.

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