题目

已知函数（ ， 为自然对数的底数）. （1） 当时，求的极值； （2） 设函数 ， 若在其定义域内恒成立，求实数的最小值； （3） 若关于的方程恰有两个相异的实根 ， ， 求实数的取值范围，并证明. 答案： 解：当a=12时，f(x)=lnx−12x，x∈(0，+∞)，所以f′(x)=1x−12=2−x2x， 令f′(x)=0，解得x=2，x(0，2)2(2，+∞)f′(x)+0−f(x)单调递增ln2−1单调递减所以f(x)的极大值为ln2−1，无极小值. 解：由题意得g(x)=lnx−(a+2)x+1≤0在(0，+∞)上恒成立，因为x>0，所以a+2≥lnx+1x在(0，+∞)上恒成立.设h(x)=lnx+1x(x>0)，则h′(x)=−lnxx2，令h′(x)=0，解得x=1，当0<x<1时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；当x>1时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减.因此h(x)max=h(1)=1，所以a+2≥1，即a≥−1.所以实数a的最小值-1. 解：由f(x)=x2即lnx−ax=x2得lnxx−x−a=0，令m(x)=lnxx−x−a(x>0)，则m′(x)=1−lnxx2−1=1−x2−lnxx2，设t(x)=1−x2−lnx，则t′(x)=−2x−1x，因为x>0，所以t′(x)<0恒成立，函数t(x)在(0，+∞)单调递减，而t(1)=0，故在(0，1)上t(x)>0，m′(x)>0，m(x)单调递增，在(1，+∞)上t(x)<0，m′(x)<0，m(x)单调递减，所以m(x)max=m(1)=−1−a.故方程f(x)=x2恰有两个相异的实根只需−1−a>0.所以实数a的取值范围是(−∞，−1).下证：x1x2>1，不妨设x1<x2，则0<x1<1<x2，0<1x2<1，所以x1x2>1⇔x1>1x2⇔m(x1)>m(1x2).因为m(x1)=m(x2)=0，所以m(x1)−m(1x2)=m(x2)−m(1x2)=(lnx2x2−x2−a)−(ln1x21x2−1x2−a)=lnx2x2−x2−ln1x21x2+1x2=lnx2x2−x2+x2lnx2+1x2=(1x2+x2)lnx2−x2+1x2令φ(x)=(1x+x)lnx−x+1x(x>1)，则φ′(x)=(1−1x2)lnx>0，所以φ(x)在(1，+∞)上单调递增，所以当x>1时，φ(x)>φ(1)=0，即(1x2+x2)lnx2−x2+1x2>0，所以m(x1)>m(1x2)，所以x1x2>1.

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