题目

点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B之间的距离可表示为 ，已知数轴上A，B两点分别表示有理数-1和x. （1） 若AB=4时，则x的值为； （2） 当x=7时，点A，B分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度同时向数轴负方向运动.求经过多少秒后，点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍； （3） 如图，点A，B，C，D四点在数轴上分别表示的数为-1，0，2，6，是否存在点P在数轴上，使得点P到这四点的距离总和的最小？若存在，请直接写点P的位置和距离总和的最小值.若不存在，请说明理由； （4） 某一直线沿街有101户民，依次记为 ，假定相邻两户居民间隔相同，将这个间隔记为1；某餐饮公司想为这101户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P.请问点P选在何处，才能使这101户居民到点P的距离总和最小？最小距离和是多少？ 答案： 【1】3或-5 解：当x=7时，点A，B分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度同时向数轴负方向运动； 设经过时间为t秒 ∴点A到原点的距离 =|−1−t| 点B到原点的距离 =|7−2t| ∵经过t秒后，点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍 ∴ |−1−t|=2|7−2t| ∵ −1−t<0 ∴ |−1−t|=1+t ∴ 1+t=2|7−2t| 当 7−2t>0 时 1+t=2(7−2t) ∴ t=135 当 7−2t<0 时 1+t=2(2t−7) ∴ t=5 ∴ t= 135 或5； 解：设P点表示的数为x ∵点A，B，C，D四点在数轴上分别表示的数为-1，0，2，6 ∴P点到点A，B，C，D距离总和等于P点到点A，D距离之和加P点到点B，C距离之和 即：P点到点A，B，C，D距离总和 =(|x−(−1)|+|x−6|)+(|x|+|x−2|) P点到点A，D距离之和为： 当 x>6 ， |x−(−1)|+|x−6|=2x−5>7 当 −1≤x≤6 ， |x−(−1)|+|x−6|=7 当 x<−1 ， |x−(−1)|+|x−6|=5−2x>7 ∴当 −1≤x≤6 时，P点到点A，D距离之和最小为7； P点到点B，C距离之和为： 当 x>2 ， |x|+|x−2|=2x−2>2 当 0≤x≤2 ， |x|+|x−2|=2 当 x<0 ， |x|+|x−2|=2−2x>2 ∴当 0≤x≤2 时，P点到点B，C距离之和最小为2； ∴当 0≤x≤2 时，P点到点A，B，C，D距离总和 =7+2=9 ； 解：根据（3）的结论，结合某一直线沿街有101户民，101为奇数 ∴当点P选在中间值 A51 处时，这101户居民到点P的距离总和最小 ∵相邻两户居民间隔相同，将这个间隔记为1 ∴这101户居民到点P的距离总和最小值为： 2×(1+2+3+...+47+48+49+50)=2×502×(1+50)=2550 .

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