题目

如图（1）知识储备 ①如图1，已知点P为等边三角形ABC外接圆的上任意一点．求证：PB+PC=PA； ②定义：在 ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，则称点P为 ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为 ABC的费马距离．（2）知识迁移 ①我们有如下探寻 ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：如图2，在 ABC的外部以BC为边长作等边三角形BCD及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段的长度即为 ABC的费马距离； ②在图3中，作出 ABC(∠A=120°)的费马点P（要求尺规作图），若AB=AC=1，求出费马距离．（3）知识应用如图4，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，其费马距离为，求AB的长．答案：解：①证明：如图，在PA上取一点E，使PE=PC，连结CE． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠APC=∠ABC=60°．又∵PE=PC， ∴ Δ PEC是等边角形， ∴CE=CP，∠ACB=∠ECP=60°， ∴∠ACE=∠BCP．在 Δ ACE和 Δ BCP中， {∠EAC=∠PBCAC=BC∠ACE=∠BCP ， ∴ Δ ACE≌ Δ BCP(ASA)， ∴AE=PB， ∴PB+PC=AE+PE=AP．解：①AD 【解法提示】观察图形可得：PA+PB+PC=PA+(PB+PC)=PA+PD， ∴当A、P、D共线时，PA+PB+PC的值最小， ∴AD的长即为 Δ ABC的费马距离． ②如图，费马点P与点A重合．费马距离=PA+PB+PC=PB+PC=2 解：如图，在等腰直角三角形ABC的外部以AC为边长作等边三角形ACD及其外接圆，由（2）可知，连结BD交圆于点P，此时点P为费马点．费马距离为：PA+PB+PC=BD= 6+2 ．设AB=BC=x，则 AC=2x ， ∴ BE=22x ， DE=62x ，即 22x+62x=2+6 ，解得x=2，即AB=2．

数学试题推荐

数学试卷推荐