题目

在直角梯形中，已知 ， ， ， 点是边上的中点，点是边上一个动点． （1） 若 ， 求的值； （2） 求的取值范围． 答案： 解：依题意，DC→=12AB→，AC→=AD→+DC→=AD→+12AB→，CB→=AB→−AC→=12AB→−AD→，而F是BC边的中点，DE→=12DC→，则EF→=EC→+CF→=12DC→+12CB→=12(AB→−AD→)，因此AC→⋅EF→=(AD→+12AB→)⋅12(AB→−AD→)=12(12AB→2−AD→2+12AB→⋅AD→)，又AB=2AD=2CD=2，∠DAB=90°，所以AC→⋅EF→=12×(12×22−12+0)=12 解：由（1）知：令EC→=λDC→=λ2AB→，0≤λ≤1，则EA→=DA→−DE→=−AD→−1−λ2AB→，EF→=EC→+CF→=EC→+12CB→=EC→+12(12AB→−AD→)=1+2λ4AB→−12AD→，则有EA→⋅EF→=(−AD→−1−λ2AB→)⋅(1+2λ4AB→−12AD→)=4(λ−12)(2λ+14)+12=(λ−14)2−116，当λ=14时，(EA→⋅EF→)min=−116，当λ=1时，(EA→⋅EF→)max=12，所以EA→⋅EF→的取值范围是[−116，12]

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