题目

如图，已知正方形ABCD，直线BC上任意一点E，连接AE，将△ABE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△AFG，直线BF、EG交于点M． （1） 如图1，当点E在线段BC上，α＝90°时，求证：M为GE的中点； （2） 如图2，当点E在射线BC上，（1）中的结论是否发生变化，说明理由． （3） 当AB＝4，BE＝5，BM＝ 时，求DM的长（直接写出结果）． 答案： 解：过 E 作 EH⊥BC ， 如图， ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠DBC=45° AB//CD ∵HE⊥BC ∴∠BHE=45° ∴EH=EB ∵ 将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△AFG， ∴BE=GD ∴HE=GD ∵GF⊥AD，AD⊥DC ∴G，D，C 三点共线 ∴GC⊥BC ∴GD//HE ∴ 四边形 HEDG 是平行四边形 ∴M 为 GE 的中点； 解：（1）中的结论， M 是 GE 的中点，仍然成立， 理由如下： 如图，过点 E 作 EN//GF ，交 BM 的延长线于点 N ，连接 GN ， EF ∵ 将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△AFG， ∴AB=AF ， BE=FG 设 ∠ABF=β ∴∠ABF=∠AFB=β ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC=∠AFG=90° ∴∠EBN=90°−β ， ∠GFN=180°−∠AFB−∠AFG=90°−β ∵EN//GF ∴∠BNE=∠GFN=90°−β ∴∠EBN=∠ENB ∴EB=EN ∵BE=FG ∴FG=EN ∴ 四边形 FEGN 是平行四边形 ∴ M 是 GE 的中点 解： ∵ AB＝4，BE＝5，BM＝ 41 ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC=∠AFG=90° ， AD=AB=BC=4 Rt△ABE 中， AE=AB2+BE2=42+52=41 ∴AE=BM ∵ 将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△AFG， ∴AB=AF ， BE=FG ， AE=AG ①当 E 在射线 BC 上时，如图，取 AE 的中点 P ，连接 BP，MP 则 PA=PE ∴ BP=12AE=1241 由（2）可知 M 为 GE 的中点， ∴ PM=12AG=1241 ∴BP=PM ∵PA=PE ∴ 四边形 ABEM 是平行四边形 ∴BP+PM=AE=41=BM 即 AE=BM ∴ 四边形 ABEM 是矩形 即 B，P，M 三点共线，如图， ∴DM=AM−AD=BE−BC=5−4=1 ②当 E 在射线 CB 上时，如图，作 AQ⊥BF 于点 Q ， ∵ 将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△AFG， ∴AB=AF ， BE=FG ， AE=AG ， ∠1=∠4 ∵ AQ⊥BF ， ∴∠2=∠3 ， ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AQ 平分 ∠EAG ∴AQ⊥EG ∴EG//BF ∴ EG 与 BF 不存在交点 M ，故此情况不存在 综上所述， DM=1

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