题目

已知数列 的前 项和 满足 . （1） 求 ； （2） 已知  ▲  ， 求数列 的前 项和 . 从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）问进行解答. 条件：① ② ③ 注：如果选择多个条件分别解答，以第一个解答计分. 答案： ∵在数列 {an} 中， Sn=2n+1−2 . 当 n=1 时， a1=22−2=2 ， 当 n⩾2 时， an=Sn−Sn−1=2n+1−2n=2n ， 又 ∵a1=2 也满足 an=2n ， ∴ an=2n 选择条件① ∵bn=(2n+1)⋅an=(2n+1)×2n ， ∴ Tn=3×21+5×22+7×23+⋯+(2n+1)×2n. ① 2Tn=3×22+5×23+7×24+⋯+(2n+1)×2n+1 ② ①-②得 −Tn=6+2(22+23+⋯+2n)−(2n+1)⋅2n+1 =6+2×22(1−2n−1)1−2−(2n+1)⋅2n+1 =6−2×(4−2n+1)−(2n+1)⋅2n+1 =−2−(2n−1)⋅2n+1 故 Tn=(2n−1)⋅2n+1+2 . 选择条件②由（1）知： an=2n ， ∴ bn=2n(an−1)(an+1−1)=2n(2n−1)(2n+1−1) =12n−1−12n+1−1 ∴ Tn=b1+b2+b3+⋯+bn =(121−1−122−1)+(122−1−123−1)+⋯+(12n−1−12n+1−1) =1−12n+1−1 选择条件③ ∵bn=(−1)n⋅log2a2n+1=(−1)n⋅(2n+1) ， ∴当 n 为偶数时， Tn=(b1+b2)+(b3+b4)+⋯+(bn−1+bn) =(−3+5)+(−7+9)+⋯+[−(2n−1)+(2n+1)] =2+2+2+⋯+2=2×n2=n 当 n 为奇数时， Tn=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+⋯+(bn−1+bn) =−3+(−2)+(−2)+⋯+(−2) =−3+(−2)×n−12=−n−2. 综上所述： Tn={n，n为偶数−n−2，n为奇数 .

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