题目

如图，已知抛物线y＝ x2＋bx＋c过点A(3, 0)、点B(0, 3)．点M(m, 0)在线段OA上（与点A、O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P ， 与抛物线交于点Q ， 联结BQ ． （1） 求抛物线表达式； （2） 联结OP ， 当∠BOP＝∠PBQ时，求PQ的长度； （3） 当△PBQ为等腰三角形时，求m的值． 答案： 解：∵将点A (3, 0)、点B (0, 3) 分别代入抛物线解析式y＝ − x2＋bx＋c得 {−9+3b+c=0c=3  ，解之得： {c=3b=2 ∴抛物线的解析式为y＝ − x2＋2x＋3 解： ∵∠BOP ＝∠PBQ且MQ∥OB ∴∠OBP ＝∠BPQ ∴△OBP ∽△BPQ 设Q（x， − x2＋2x＋3） ∵P点在直线AB上，并A (3, 0)、B (0, 3)， 则直线AB的解析式为： y=−x+3 ∴ P (x，3－x) ∴BP＝ 2 x，OB＝3，PQ＝ − x2＋3x ∴ OBBP=BPPQ      即 32x=2x−x2+3x ∴ x=0或95 （0舍去） ∴ PQ=5425 解：∵M（m，0），P（m，3－m），Q（m， − m2＋2m＋3） ∴BP＝ 2 m，PQ＝ − m2＋3m且∠BPQ＝45° ∴当△BPQ为等腰三角形时，存在如下情况： ①如图1，当BQ＝PQ时，即∠PBQ＝∠BPQ＝45° ∴△BPQ为等腰直角三角形   ∴ − m2＋2m＋3＝3 ∴m＝2 ②当BP＝PQ时,即 2 m＝ − m2＋3m，即 m=3−2或0 （0舍去） ③如图2，当BP＝BQ时，∠BQP＝∠BPQ＝45° 根据 PM=3−m ， OM=m ，可得 PQ=2m 则有 −m2+2m+3=3+m ， ∴m＝1 综上所述，m的值为2、 3−2 或1.

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