题目

在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等 三角形的解决思路．如：在图1中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点 A 在 OM 上，此时，在射线ON上截取 OB=OA，连结 BC，根据三角形全等的判定方法(SAS)，容易构 造出全等三角形△OBC 和△OAC，参考上面的方法，解答下列问题： （1） 如图2，在△ABC 中，AD是∠BAC的平分线，E，F 分别为AB，AC上的点，且∠AED+∠AFD=180°．求证：DE=DF． （2） 如图3，在非等边△ABC 中，∠B=60°，AD，CE 分别是∠BAC，∠BCA 的平分线，且AD，CE 交于点 F，求证：AC=AE+CD． 答案： 证明：如图1，在AB上截取AK=AF，连结KD∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD.在△AKD和△AFD中，{AK=AF∠BAD=∠DACAD=AD∴△AKD≌△AFD(SAS)∴DK=DF，∠AKD=∠AFD∵∠AED+∠AFD=180°∠EKD+∠AKD=180°∵，∠AED=∠EKD∴DE=DK∴DE=DF 证明：如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG∵AD是∠BAC的平分线，CE是∠BCA的平分线∴∠1=∠2，∠3=∠4在△AEF和△AGF中，{AE=AG∠1=∠2AF= AF∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴∠AFE=∠AFG∵∠B=60°∵.∠BAC+∠ACB=120°∵.∠2+∠3= 12 (∠BAC+∠ACB)=60°，∵∠AFE=∠2+∠3，∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，∴∠CFG=180°-∠CFD-∠AFG=60°∴∠CFD=∠CFG，在△CFG和△CFD中{∠CFG=∠CFDFC= FC∠3=∠4∴△CFG≌△CFD(ASA)∴CG=CD，∴AC=AG+CG=AE+CD

查看本题答案和解析