题目

如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，BD是 ABC的角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点D，交BC于点E，交AB于点F． （1） 求证：AC是⊙O的切线； （2） 若CE＝2，CD＝4，求半径的长． 答案： 证明：如图，连接 OD ， ∵BD 为 ∠ABC 的平分线， ∴∠1=∠2 ， ∵OB=OD ， ∴∠1=∠3 ，  ∴∠2=∠3 ， ∴ OD∥BC ， ∵∠C=90° ， ∴∠ODA=∠C=90° ， ∴AC 是 ⊙O 的切线； 解：过 O 作 OG⊥BC ，连接 OE ， ∵ OG⊥BC ， ∠ODC=∠C=90° ， ∴四边形 ODCG 为矩形， ∴ CG=OD ， OG=CD=4 ， 设OE＝OD＝CG＝x，则GE＝CG－CE＝x－2， ∵在 Rt△OGE 中， OG2+GE2=OE2 ， ∴ 42+(x−2)2=x2 ， 解得： x=5 ， ∴ OD=5 ， 即半径的长为5．

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