题目

如图，△ABC内接于 ， AB为直径，∠ACB 的平分线分别交AB于点D.交 于点E，过点E作 的切线，交CE的平行线AF于点F. （1） 求证：四边形ADEF为平行四边形. （2） 若tan∠CAB＝ ，AF＝5，求四边形ADEF的面积. 答案： 证明：连接OE，如图， ∵AB为直径， ∴ ∠ACB=90° ， ∵CE平分 ∠ACB ， ∴ ∠ACE=∠BCE=12∠ACB=45° ， ∴ ∠AOE=2∠ACE=90° ， ∵EF为 ⊙O 的切线， ∴ ∠OEF=90° ， ∵ ∠AOE+∠OEF=180° ， ∴ AD∥EF ， ∵ AF∥CE ，即 AF∥DE ， ∴四边形ADEF为平行四边形； 解：过点A作 AG⊥CE 交CE于点G，如图， ∵tan∠CAB＝ 23 ， ∴ CBCA=23 ， 设 CB=2x，CA=3x ， ∴AB=CA2+CB2=13x ， ∴OA=OB=12AB=132x ， ∵ AG⊥CE ， ∠ACE=45° ， ∴AG=CG ， ∵CA=AG2+CG2 ， ∴AG=CG=322x ， 在 △ADG 和 △EDO 中， {∠BOE=∠AGD=90°∠ADE=∠ADE ， ∴△ADG∽△EDO ， ∴ADDE=AGOE ， ∵OA=OB=132x ， ∴OE=13x2 ， ∵四边形ADEF为平行四边形，AF＝5， ∴DE=AF=5 ， ∴AD5=322x132x ， ∴AD=152613 ， ∴OD=AD−OA=152613−132x ， ∵OD2+OE2=DE2 ， ∴(152613−132x)2+(132x)2=52 ， 解得 x1=25213，x2=5213 ， ∴AG1=7513，AG2=1513 ， ∴S▱ADEF1=7513×5=37513，S▱ADEF1=1513×5=7513 .

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