题目

已知a≥3，函数F（x）=min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，q）= （1） 求使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围 （2） （i）求F（x）的最小值m（a） （ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a） 答案： 解：由a≥3，故x≤1时， x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2+2（a﹣1）（2﹣x）＞0；当x＞1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2﹣（2+2a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a），则等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围是[2，2a]； 解：（i）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2， 则f（x）min=f（1）=0，g（x）min=g（a）=﹣a2+4a﹣2．由﹣a2+4a﹣2=0，解得a=2+ 2 （负的舍去），由F（x）的定义可得m（a）=min{f（1），g（a）}，即m（a）= {0,3≤a≤2+2−a2+4a−2,a＞2+2 ；（ii）当0≤x≤2时，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}=2=F（2）；当2＜x≤6时，F（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）}=max{2，34﹣8a}=max{F（2），F（6）}．则M（a）= {34−8a,3≤a≤42,a＞4

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