题目

已知曲线C上任意一点到 ， 距离之和为 ， 抛物线E：的焦点是点. （1） 求曲线C和抛物线E的方程； （2） 点是曲线C上的任意一点，过点Q分别作抛物线E的两条切线，切点分别为M，N，求的面积的取值范围． 答案： 解：依题意，曲线C是以F1(−1，0)，F2(1，0)为左右焦点，长轴长为433的椭圆，则短半轴长b有b2=(23)2−12=13，曲线C的方程为：x243+y213=1，即3x24+3y2=1，在y2=2px中，p2=1，即p=2，所以曲线C的方程为：3x24+3y2=1，抛物线E的方程为：y2=4x. 解：显然，过点Q的抛物线E的切线斜率存在且不为0，设切线方程为：y−y0=k(x−x0)，由{y−y0=k(x−x0)y2=4x消去x并整理得：k4⋅y2−y+y0−kx0=0，依题意，Δ=1−k(y0−kx0)=x0k2−y0k+1=0，设二切线斜率为k1，k2，则k1+k2=y0x0，k1k2=1x0，设斜率为k1的切线所对切点M(x1，y1)，斜率为k2的切线所对切点N(x2，y2)，因此，y1=2k1，y2=2k2，于是得M(1k12，2k1)，N(1k22，2k2)，NM→=(1k12−1k22，2k1−2k2)，直线MN上任意点P(x，y)，MP→=(x−1k12，y−2k1)，由MP→//NM→得：(2k1−2k2)(x−1k12)−(1k12−1k22)(y−2k1)=0，化简整理得：2x−k1+k2k1k2y+2k1k2=0，则直线MN的方程为：2x−y0y+2x0=0，点Q到直线MN的距离d=|4x0−y02|4+y02，|MN|=(1k12−1k22)2+(2k1−2k2)2=(1k1−1k2)2[(1k1+1k2)2+4=[(k1+k2k1k2)2−4k1k2][(k1+k2k1k2)2+4]=(y02−4x0)(y02+4)，则△QMN的面积S△QMN=12|MN|⋅d=12⋅(y02−4x0)(y02+4)⋅|4x0−y02|4+y02=12(y02−4x0)32，而点Q(x0，y0)(x0<0)在曲线C上，即y02=13−14x02，−23≤x0<0，y02−4x0=−14x02−4x0+13在x0∈[−23，0)上单调递减，当x0=0时，(y02−4x0)min=13，当x0=−23时，(y02−4x0)max=83，于是有13<y02−4x0≤83，则39<(y02−4x0)32≤161243，有318<S△QMN≤81243所以△QMN的面积的取值范围是(318，81243].

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