题目

已知 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π． （1） 若| ﹣ |= ，求证： ⊥ ； （2） 设 =（0，1），若 + = ，求α，β的值． 答案： 证明：由 a→ =（cosα，sinα）， b→ =（cosβ，sinβ），则 a→−b→ =（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），由 |a→−b→|2=(cosα−cosβ)2+(sinα−sinβ)2 =2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，得cosαcosβ+sinαsinβ=0．所以 a→⋅b→=0 ．即 a→⊥b→ ； 解：由 a→+b→=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1)得 {cosα+cosβ=0①sinα+sinβ=1② ，①2+②2得： cos(α−β)=−12 ．因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π．所以 α−β=23π ， α=23π+β ，代入②得： sin(23π+β)+sinβ=32cosβ+12sinβ=sin(π3+β)=1 ．因为 π3<π3+β<4π3 ．所以 23π+β=π2 ．所以， α=56π,β=π6 ．

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