题目

已知函数 (其中e为自然对数的底数)． （1） 若对任意 成立，求实数k的取值范围； （2） 设 ，且 ，求证： ． 答案： f'(x)=exsinx+excosx−k ，令 g(x)=exsinx+excosx−k ， 所以 g'(x)=2excosx ，当 x∈[0,π2],g'(x)≥0 恒成立， 所以 g(x)=exsinx+excosx−k 在 x∈[0,π2] 上单调递增， 所以 g(π2)=eπ2−k≥g(x)≥g(0)=1−k ， 当 1−k≥0 时，即 k≤1 时， f'(x)=g(x)≥0 恒成立，故 f(x) 在 x∈[0,π2] 上单调递增，所以 f(x)≥f(0)=0 ，满足条件； 当 eπ2−k≤0 时，即 eπ2≤k 时， f'(x)=g(x)≤0 恒成立，故函数 f(x) 在 x∈[0,π2] 上单调递减，所以 f(x)≤f(0)=0 ，不满足条件； 当 1−k<0 且 eπ2−k>0 时，即 eπ2>k>1 时，存在 x0∈[0,π2] 使得当 x∈[0,x0] 时 f'(x)<0 ， x∈[x0,π2] 时， f'(x)>0 ，故函 f(x) 在 [0,x0] 上单调递减，在 [x0,π2] 上单调递增，由于 f(0)=0 ，故 x∈[0,x0] 时 f(x)≤0 ，不满足条件. 所以实数 k 的取值范围是 (−∞,1] . 由（1）知，当 k∈(−∞,1] 时， exsinx−kx≥0 在 [0,π2] 恒成立，当且仅当 x=0 等号成立； 令 k=1 ，当 x∈(0,π2) 时 sinxx>1ex ， 所以当 x1, x2∈(0,π2) 时， sinx1x1>1ex1 ， sinx2x2>1ex2 ， 所以 sinx1x2+sinx2x1>1ex1+1ex2=ex2+ex1ex1+x2≥2ex2ex1ex1+x2=2ex1+x2ex1+x2 又因为 x1+x2=1 ， 所以 sinx1x2+sinx2x1>1ex1+1ex2=ex2+ex1ex1+x2≥2ex2ex1ex1+x2=2ex1+x2ex1+x2=2ee=2e . 所以命题成立.

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