题目

已知二次函数满足 ， 且有. （1） 求函数的解析式； （2） 若函数 ， 函数.①求在区间上的最小值；②若对于任意的 ， 使得恒成立，求实数的取值范围. 答案： 解：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由f(0)=1⇒c=1，由f(x+1)=f(x)+2x⇒a(x+1)2+b(x+1)+1=ax2+bx+1+2x，∴{2a+b=b+2a+b+1=1⇒{a=1b=−1，∴f(x)=x2−x+1 解：①易知h(x)=x2+tx+1=(x+t2)2+1−t24，∵x∈[−1，1]，∴h(x)min={2−t，t∈(2，+∞)1−t24，t∈[−2，2]2+t，t∈(−∞，−2)； ②由题意得t≤h(x)min，由①可得：ⅰ）当t>2时，t≤h(x)min=2−t⇒t≤1，不合，舍去；ⅱ）当−1≤t≤2时，t≤h(x)min=1−t24⇒−22−2≤t≤22−2，则−2≤t≤22−2；ⅲ）当t<−2时，t≤h(x)min=2+t⇒t∈R，则t<−2；综上所述：t∈(−∞，22−2].

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