题目

如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连结AB.点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC方向运动，到点C停止.当点P与B、C两点不重合时，作PD⊥BC交AB于D，作DE⊥AC于E.F为射线CB上一点，且∠CEF=∠ABC.设点P的运动时间为x（秒）. （1） 用含有x的代数式表示CE的长； （2） 求点F与点B重合时x的值； （3） 当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）.求y与x之间的函数关系式； （4） 当x为某个值时，沿PD将以D、E、F、B为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形.请直接写出所有符合上述条件的x值. 答案： 解：∵∠C=90°，PD⊥BC， ∴DP∥AC， ∴△DBP∽△ABC，四边形PDEC为矩形， CE=PD.. ∴ PD=CA×PBCB=30×4x20=6x . ∴CE=6x； 解：∵∠CEF=∠ABC，∠C为公共角， ∴△CEF∽△CBA， ∴ CFCA=CECB . ∴ CF=CA×CECB=30×6x20=9x . 当点F与点B重合时， CF=CB，9x=20. 解得 x=209 . 解：当点F与点P重合时，BP+CF=CB，4x+9x=20， 解得 x=2013 . 当 0<x<2013 时， y=PD(PF+DE)2=6x(20−13x+20−4x)2 =-51x2+120x.当 2013 ＜x≤ 209 时， y=12DE×DG = y=12(20−4x)23(20−4x)=13 （20-4x）2. （或 y=163x2−1603x+4003 ） 解：①如图③，当PD=PF时，6x=20-13x，解得：x= 2019 ；△B′DE为拼成的三角形； ②如图④当点F与点P重合时，4x+9x=20，解得：x= 2013 ；△BDC为拼成的三角形； ③如图⑤，当DE=PB，20-4x=4x，解得：x= 52 ，△DPF为拼成的三角形.

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