题目

已知函数f（x）=lnx﹣ ax2﹣2x（a＜0） （1） 若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围； （2） 若a=﹣ 且关于x的方程f（x）=﹣ x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围． 答案： 解：f'（x）=﹣ ax2+2x−1x （x＞0） 依题意f'（x）≥0 在x＞0时恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0恒成立．则a≤ 1−2xx2 =在x＞0恒成立，即a≤[ (1x−1)2 ﹣1]min  x＞0当x=1时， (1x−1)2 ﹣1取最小值﹣1∴a的取值范围是（﹣∝，﹣1] 解：a=﹣ 12 ，f（x）=﹣ 12 x+b∴ 14x2−32x+lnx−b=0 设g（x）= 14x2−32x+lnx−b(x>0) 则g'（x）= (x−2)(x−1)2x 列表：X（0，1）1（1，2）2（2，4）g′（x）+0﹣0+g（x）↑极大值↓极小值↑∴g（x）极小值=g（2）=ln2﹣b﹣2，g（x）极大值=g（1）=﹣b﹣ 54 ，又g（4）=2ln2﹣b﹣2∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．则 {g(1)≥0g(2)<0g(4)≥ ，得ln2﹣2＜b≤﹣ 54

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