题目

在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）． （1）如图1，若EF∥BC，求证： （2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，，求的值． 答案：【分析】（1）由EF∥BC知△AEF∽△ABC，据此得=，根据=（）2即可得证； （2）分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H，据此知△AFN∽△ACH，得=，根据=即可得证； （3）连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，由重心性质知S△ABM=S△ACM、=，设=a，利用（2）中结论知==、==a，从而得==+a，结合==a可关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案． 【解答】解：（1）∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴=， ∴=（）2=•=； （2）若EF不与BC平行，（1）中的结论仍然成立， 分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H， ∵FN⊥AB、CH⊥AB， ∴FN∥CH， ∴△AFN∽△ACH， ∴=， ∴==； （3）连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN， 则MN分别是BC、AC的中点， ∴MN∥AB，且MN=AB， ∴==，且S△ABM=S△ACM， ∴=， 设=a， 由（2）知：==×=，==a， 则==+=+a， 而==a， ∴+a=a， 解得：a=， ∴=×=． 【点评】本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质和三角形重心的定义及其性质等知识点．

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