题目

已知 ， 函数. （1） 若恒成立，求t的取值范围； （2） 若方程有两个正实数根.（i）求t的取值范围；（ii）证明：.（注：是自然对数的底数） 答案： 解：法一：考虑x>0即可，得etx≥ex，得tx≥1+lnx，t≥1+lnxx，令φ(x)=1+lnxx，φ′(x)=−lnxx2，则φ′(x)=0，x=1，函数y=φ(x)在(0，1)递增，(1，+∞)递减，又φ(1e)=0，limx→∞φ(x)→0，所以t≥φ(x)max=φ(1)=1.法二：由题意知，考虑x>0即可，f′(x)=tetx−e，当t≤0时，f′(x)<0，f(2)=e2t−2e<0，矛盾，舍去；当0<t<e时，f′(x)=0，得x=1−lntt，于是f(x)在(0，1−lntt)递减，在(1−lntt，+∞)递增，则f(1−lntt)≥0，得e1−lnt−e1−lntt≥0，lntt≥0，得1≤t<e，当t≥e时，f′(x)=tetx−e≥0，于是f(x)在(0，+∞)递增，所以f(x)>f(0)=1≥0，所以当t≥e时，所以恒有f(x)≥0，综上所述，t≥1.法三：由题意得etx≥ex，考虑x>0，过原点作y=etx的切线，设切点(x0，y0)，则k=tetx0，又k=etx0x0，得tetx0=etx0x0，所以tx0=1，得k=ex0=te，又题意知te≥e，得t≥1.法四：由题意知，令x=1，则et−e≥0，所以t≥1.下证：当t≥1时，etx−ex≥0.由于g(t)=etx−ex在t≥1递增，所以欲证etx−ex≥0，只需证ex−ex≥0，令G(x)=ex−ex，则G′(x)=ex−e，知G′(x)=0，x=1，函数G(x)在(0，1)递减，(1，+∞)递增，故G(x)≥G(1)=0，证毕. 解：（i）令F(x)=f(x)−g(x)有两零点x1，x2，令f(x)−g(x)=0，etx−ex−lnx+tx−1=0，etx+tx=ex+lnex，etx+tx=elnex+lnex，由y=ex+x在R上递增，则tx=lnex，所以上述等价于tx=1+lnx有两零点x1，x2，于是t=1+lnxx，由（1）知，令φ(x)=1+lnxx，φ′(x)=−lnxx2，则φ′(x)=0，x=1，y=φ(x)在(0，1)递增，(1，+∞)递减，又φ(1e)=0，limx→∞φ(x)→0，所以0<t<1.另：考虑x>0，由f(x1)=g(x1)，f(x2)=g(x2)，令f(x)=0，得etx=ex，得tx=1+lnx，此时等价于g(x)=0，所以f(x)=0等价于g(x)=0，于是t=1+lnxx，由（1）知，令φ(x)=1+lnxx，φ′(x)=−lnxx2，则φ′(x)=0，x=1，函数y=φ(x)在(0，1)递增，(1，+∞)递减，又φ(1e)=0，limx→∞φ(x)→0，所以0<t<1.（ii）法一：证明：由（i）知，已知等价于tx=1+lnx有两个零点x1x2，于是lnx1+1=tx1，lnx2+1=tx2，所以x2−x1lnx2−lnx1=t.欲证f′(x1)+f′(x2)+g′(x1)+g′(x2)>0，只需证t(etx1+etx2)−2e+1x1+1x2−2t>0只需证te(x1+x2)−2e+1x1+1x2−2t>0，消t得e(x2+x1x2−x1lnx2x1−2)+1x1+1x2−2lnx2−lnx1x2−x1>0，一方面，下证：x2+x1x2−x1lnx2x1−2>0，等价于证明x2x1+1x2x1−1lnx2x1−2>0，令μ=x2x1(μ>1)，则等价于证明μ+1μ−1lnμ−2>0，等价于证明lnμ−2μ−1μ+1>0，令F(μ)=lnμ−2μ−1μ+1，则F′(μ)=(μ−1)2μ(μ+1)2>0，所以F(μ)在(1，+∞)递增，所以F(μ)>F(1)=0，得证.另一方面，再证1x1+1x2−2lnx2−lnx1x2−x1>0，等价于证1x1+1x2>2lnx2−lnx1x2−x1，等价于证x22−x12x1x2>2lnx2x1，等价于证x1x2−x2x1>2lnx2x1，等价于证μ−1μ>2lnμ，等价于证2lnμ−μ+1μ<0(μ>1)，令G(μ)=2lnμ−μ+1μ，G′(μ)=−(μ−1)2μ2<0，所以G(μ)在(1，+∞)递减，所以G(μ)<G(1)=0，得证.综上两方面所述，所以e(x2+x1x2−x1lnx2x1−2)+1x1+1x2−2lnx2−lnx1x2−x1>0.法二：一方面，f′(x1)+f′(x2)=tet1+teω2−2e=t(eω1+ex2)−2e，因为etx1=ex1，etx2=ex2，则etx2−etx1tx2−tx1=et<etx2+etx12，得t(etx1+etx2)−2e>0，所以f′(x1)+f′(x2)>0，别一方面，g′(x1)+g′(x2)=1x1+1x2−2t，因为lnx1+1=tx1，lnx2+1=tx2，所以lnx2−lnx1=tx2−tx1，由对均知：x2−x1lnx2−lnx1=1t>x2x1，又易证x2x1>21x1+1x2，所以1x1+1x2>2t，所以g′(x1)+g′(x2)>0，综上所述，f′(x1)+f′(x2)+g′(x1)+g′(x2)>0.

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