题目

如图，四边形是正方形，点为对角线的中点． （1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是_____，位置关系是____； （2）问题探究：如图②，是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．判断的形状，并证明你的结论； （3）拓展延伸：如图③，是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积．   答案：（1），；（2）的形状是等腰直角三角形，理由见解析；（3） 【解析】 （1）根据题意可得PQ为△BOC的中位线，再根据中位线的性质即可求解； （2）连接并延长交于点，根据题意证出，为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形，由且可得是等腰直角三角形； （3）延长交边于点，连接，．证出四边形是矩形，为等腰直角三角形，，再证出为等腰直角三角形，根据图形的性质和勾股定理求出O′A，O′B和BQ的长度，即可计算出的面积． 【详解】 解：（1）∵点P和点Q分别为，的中点， ∴PQ为△BOC的中位线， ∵四边形是正方形， ∴AC⊥BO， ∴，； 故答案为：，； （2）的形状是等腰直角三角形．理由如下： 连接并延长交于点， 由正方形的性质及旋转可得，∠， 是等腰直角三角形，，． ∴，． 又∵点是的中点，∴． ∴． ∴，． ∴，∴． ∴为等腰直角三角形． ∴，． ∴也为等腰直角三角形． 又∵点为的中点， ∴，且． ∴的形状是等腰直角三角形． （3）延长交边于点，连接，． ∵四边形是正方形，是对角线， ∴． 由旋转得，四边形是矩形， ∴，． ∴为等腰直角三角形． ∵点是的中点， ∴，，． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ∵是的中点， ∴，． ∵， ∴，， ∴． ∴． 【点睛】 本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转图形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质和勾股定理，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．

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