题目

如图，一滑板的上表面由长度为L的水平部分AB和半径为R的四分之一光滑圆弧BC组成，滑板静止于光滑的水平地面上。物体P(可视为质点）置于滑板上面的A点，物体P与滑板水平部分的动摩擦因数为μ（μ<1）。一根长度为L、不可伸长的细线，一端固定于O\prime 点，另一端系一质量为m的小球Q。小球Q位于最低点时与物体P处于同一高度并恰好接触。现将小球Q拉至与O\prime 同一高度（细线处于水平拉直状态），然后由静止释放，小球Q向下摆动并与物体P发生弹性碰撞（碰撞时间极短）。设物体P的质量也为m，滑板的质量为2m。 （1） 求小球 与物体 碰撞前瞬间细线对小球拉力的大小； （2） 若物体 在滑板上向左运动从C点飞出，求飞出后相对 点的最大高度； （3） 要使物体 在滑板上最后不滑落，求 满足的条件。 答案： 解：小球Q在下落过程中机械能守恒，因此有 mgL=12mvQ2 在最低点对小球Q牛顿第二定律可得 T−mg=mvQ2L 联立解得 T=3mg 解：小球Q和物块P发生弹性碰撞，则机械能和动量守恒，因此 mvQ=mv′Q+mvP 12mvQ2=12mv′Q2+12mvP2 解得 vP=vQ=2gL 物体和滑板在水平方向上不受力，则水平方向动量守恒 mvP=3mv1 由能量守恒可得 12mvP2=12m(v12+vy2)+12×2mv12+μmgL+mgR 物体离开滑板后两物体水平方向都做匀速直线运动，因此水平相对位置不变，竖直方向 h=vy22g 联立可得 h=2L3−μL−R 解：如果物体P从C点飞出，再落回到滑槽中恰能回到A点时，摩擦系数最小，则运动到A点与滑板共速，根据动量守恒和能量守恒得 mvP=3mv1 12mvP2=12(m+2m)v12+μminmg⋅2L 则 μmin=13 则物体P与滑板水平部分的动摩擦因数满足 μ≥13

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