题目

在 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ， . （1） 已知 的面积S满足 ，求角A； （2） 若边BC上的中线为AD，求AD长的最小值. 答案： 解：由 a2+c2−b24acosA=tanAtanB ，可得 2ac⋅cosB4a⋅cosA=tanAtanB=sinAcosBcosAsinB ，∴ bc=2a=4 . ∵ S=12bcsinA=2sinA=2cosA ，故 tanA=1 . 又 A∈(0，π) ，∴ A=π4 . 解：在 △ABD 和 △ACD 中，分别由余弦定理可得 cos∠ADB=AD2+1−c22AD ， cos∠ADC=AD2+1−b22AD ， ∴ AD2+1−c22AD=−AD2+1−b22AD ，整理得 2AD2+2=b2+c2 ， ∴2 AD2+2≥2bc=8 ，即 AD≥3 ，当且仅当 b=c=2 时取等号，即AD长的最小值为 3 .

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